山东省青岛第一中学2024-2025学年高三上学期阶段性练习（12月）数学试题

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山东省青岛第一中学2024-2025学年高三上学期阶段性练习（12月）数学试题(图1)

山东省青岛第一中学2024-2025学年高三上学期阶段性练习（12月）数学试题(图2)

高三数学阶段练习答案 (评分标准)
一、单项选择题 (每小题 5 分, 共 8 题, 共 40 分)
1. D       2.D       3. D       4.A       5.D       6.B      7.C      8.D
二、多项选择题 (每小题 6 分, 共 3 题, 共 18 分)
9. ACD        10. ACD        11.AC
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 满分 15 分.
12. √3+1         13.10         14. 4/5 π  ；［√5+3，2√3+2］
三、解答题 (共 5 题, 共 77 分)
15. (本题满分 13 分)
(1)因为 cosC/c=cosA/(4b-a) ,由正弦定理得 cosC/sinC=cosA/(4sinB-sinA) ,
可得 4sinBcosC-sinAcosC=cosAsinC ,
即 4sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB ,
因为 B∈(0,π) ,可得 sinB>0 ,所以 4cosC=1 ,即 cosC=1/4 ,
所以 sinC=√(1-cos^2 C)=√15/4
(2)解:由(1)知 sinC=√15/4 ,因为若 △ABC 的面积为 √15/2 ,
可得 1/2 absinC=√15/2 ,即 1/2 ab×√15/4=√15/2 ,解得 ab=4 ,
又因为 a+b=(2√6)/3 c ,由余弦定理得
c^2=a^2+b^2-2abcosC=(a+b)^2-2ab-2ab×1/4=(a+b)^2-5/2 ab=((2√6)/3 c)^2-10
整理得 c^2=6 ,解得 c=√6 ,
所以 a+b=(2√6)/3×√6=4 ,所以 △ABC 的周长为 a+b+c=4+√6 .

16.(本题满分 15 分) (1)证明见解析
(2) √3/3 .
(1)如图所示,连接 EF .    
因为 E,F 分别是棱 PB,PC 的中点,
所以 EF//BC,BC=2EF .
因为 AD//BC,BC=2AD ,
所以 EF//AD,EF=AD ,
所以四边形 ADFE 是平行四边形,
则 AE//DF .
因为 AE⊂ 平面 ACE,DF⊄ 平面 ACE ,
所以 DF// 平面 ACE . .6
(2)因为 AD⊥ 平面 PAB ,
PA"、" AB⊂ 平面 PAB ,
所以 AD⊥PA,AD⊥AB ,
又因为 PA⊥AB ,
所以 AB,AP,AD 两两垂直,
以 A 为坐标原点, (AB) ⃗ , (AP) ⃗ , (AD) ⃗ 的方向分别为 x , y , z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
 
     
由题中数据可得 A(0,0,0),C(2,0,4),E(1,2,0) ,
(AC) ⃗=(2,0,4),(AE) ⃗=(1,2,0) .
设平面 ACE 的法向量为 n ⃗=(x,y,z) ,
则 {■(n ⃗⋅(AC) ⃗=2x+4z=0,@n ⃗⋅(AE) ⃗=x+2y=0,)┤
令 x=2 ,得 n ⃗=(2,-1,-1) . 
因为 PA⊥AB,AB⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD⊂ 平面 PAD ,
所以 AB⊥ 平面 PAD
平面 PAD 的一个法向量为 (AB) ⃗=m ⃗=(2,0,0) 
设平面 ACE 与平面 PAD 的夹角为 θ ,
则 cosθ=|cosθ〈n ⃗,m ⃗〉|=|n ⃗⋅m ⃗ |/|n ⃗ ||m ⃗ | =4/(2√6)=√6/3
故 sinθ=√(1-cos^2 θ)=√3/3 ,
即平面 ACE 与平面 PAD 的夹角的正弦值为 √3/3 . 

17. (本题满分 15 分)
(1)极小值 -1/e ,无极大值
(2) m≥1/2
(1)因为 f(x)=axlnx ,所以 f^' (x)=a(1+lnx) ,
依题意 f^' (1)=1 ,即 a=1 ,
所以 f(x)=xlnx ,定义域为 (0,+∞) ,则 f^' (x)=1+lnx ,
所以当 x>1/e 时 f^' (x)>0 ,当 0<x<1/e 时 f^' (x)<0 ,
所以 f(x) 在 (1/e,+∞) 上单调递增,在 (0,1/e) 上单调递减,
所以 f(x) 在 x=1/e 处取得极小值 -1/e ,无极大值; 
(2)因为 ∀x∈(0,1],xlnx≥m(x^2-1) 恒成立,
因为当 0<x<1 时 xlnx<0,x^2-1<0 ,所以 m>0 ,
所以 lnx≥m(x-1/x) 对 x∈(0,1] 恒成立 (m>0) , 
令 h(x)=lnx-m(x-1/x)(x∈(0,1]) ,则当 x∈(0,1] 时, h(x)≥0 恒成立,
因为 h^' (x)=1/x-m(1+1/x^2 )=(-mx^2+x-m)/x^2  ,
设 g(x)=-mx^2+x-m(m>0) ,
当 {■(Δ=1-4m^2≤0@m>0)┤ ,即 m≥1/2 时 g(x)≤0 ,所以 h^' (x)≤0 ,
即 h(x) 在 (0,1] 上单调递减,所以 h(x)≥h(1)=0 ,符合题意; 
当 {■(Δ=1-4m^2>0@m>0)┤ ,即 0<m<1/2,g(1)=1-2m>0,g(0)=-m<0 ,
所以 g(0)g(1)<0 ,由零点存在性定理可知存在 x_0∈(0,1) 使得 g(x_0 )=0 ,

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