【金太阳】河南省开封市五校2024-2025学年高二上学期11月期中联考，高中\高二\河南省\河南省开封市五校联考\2024-2025学年上\数学三零论坛（30论坛）用百度云盘、腾讯云盘分享的原卷版、解析版及答案，在云盘中的课件资料可在线阅读及保存到自己的云盘，此电子版课件永久免费阅读及下载。
开封五校2024~2025学年上学期期中联考·高二数学
参考答案、提示及评分细则
1.A直线1：x-3y十1=0和直线m:3十y-1=0的斜率分别为号，一3，因为3×(-3)=-1，所以Lm
故选A
2.D
由影意可知中14，所以3，所以双曲线C亏一y=1的渐近线方程为y=士号，故选D
3.B因为(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=a·b+b=1-m-1+3=0,解得m=3.故选B
4C由题意{
32解得所以m+=29.故选C
1十m2=m2一12，
5.A圆G的标准方程为(x+2)+y2=2,圆心C(-2,0),半径n1=2,圆C的标准方程为(x十1)2+
(y十1)3=8，圆心C(一1，一1)，半径2=22，所以1CC2|=/2=r2一n,圆C,C内切，所以与圆C,C2
都相切的直线只有1条.故选A.
6,B设c=a一，由椭圆定义易得△ABF:的周长为4a,由对称性可得|AF,|=|BF|,所以
|AF2|+IFF2|+IB2F2|=IAF|+IFF|+IAF|=2a+2,所以△ABF2的周长与
IAR,I+FF+B,RI的比值为2子。放选B
7,D该塔筒的轴截面如图所示，以C为喉部对应点，以O℃所在直线为轴，过点O且与
O℃垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，设A与B分别为上，下底面对应点.设双曲
线的方程为后一希-1a>0,6>0),因为双曲线的离心率为瓜-√+(2丁，所以
?=9a,又喉部（中间最细处）的直径为8cm,所以2a=8,a=4,所以双曲线的方程为
益-1.由题童可知=3厄B号代入双尚线方程，得4=3万，%=
21
2
所以该塔筒的高为4一%=27，三.故选D
2
8.C不妨设PF,l=m,PF:|=,焦距|EF|=2c,由△PF,F:的面积为，得7mm·sin∠FPF:=,
由余弦定理，得|FF:|2=|PFI2+IPF|2-2|PF PF|cos∠FPF,则42=m2+n2一
2nc0s∠F1PF2=(n十n)2-2nn(1十cos∠FPF:）=4a2-2(1十c0s∠F1PF2),所以
mn(1十cos∠FPF2)=2a2-2c2=25,即m(1十cos∠F1PF:)=msin.∠FPF:,所以1+cos∠FPF2=
sin∠FPF,所以Esin(∠FPF-于）=1，易得∠FPF=号，|PF|=|PQ|=m,所以|FQl=Em:
所以|PF2|=2a-m,|QF2|=2a-2m,所以|PQ|=|PF2|+|QF|=4a-(2+1)n=n,所以m=4a
-,所以1PF1=（-2.1o1=（6-4.所以爱--名=E+1
故选C
9.BC当1一m2=0,即m=士1时，x=士1，表示平行于y轴的两直线，A错误；当m=0时，x2十y2=1,表示以
原点为圆心，半径为1的单位圆，B正确；当1一2<0，即m<一1或m>1时，曲线C:x2一
1
一=1表示焦
加2-1
点在x轴上的双曲线，C正确：当1-m>0,且m≠0时，则0<1一m<1,所以=m>1,因此曲线C:r+
=1表示焦点在y轴上的椭圆，D错误.故选BC
1一m
10.BC因为双曲线C:二一若-1的渐近线方程为x士ay=0,所以C的右焦点F到b:士ay=0的距离d
L=b,即lFM1=b,因为OFl=c,所以|OMl=a,因为sin∠MOF>sin∠MFO,所以2>4，所
/a-+b
以子>1，所以C的离心率√十>厄.又因为C与直线y=3x无公共点，所以÷≤3一√什吾≤
10,所以/2<≤10.故选BC
11.ACD
设P(,)(≠0，≠0)为曲线C上除原点外的任意一点，由题意可知，（乎）
=a,整理得
xy
(.x2十y)3=2x2y2,原点O(0,0)也适合上式，所以曲线C的方程为(.x2十y2)3=axy2(xy≥0)，显然点
P(x,y)与原点O(0,0)关于直线y=x的对称点Q(y,x)也都满足方程，所以A正确，将点（一1，一1）代入
(2+y2)3=a2x2y2,得a2=8,所以曲线C的方程为(.x2+y=8xy(xy≥0)，B错误；由(x2+y)=
:ry<心（生产），得r+r<号，所以曲线C在以0为原点率径为号的圆内，结合图形可知，商线
C围成的图形面积小于宁×乎-袋，C正确：由于r+y≤号<9，所以∈[0,3)，∈[0,3)，由曲线
C的对称性可知，要使曲线C上有5个整点，则曲线C在第一象限内有两个整点，当整点为(1,1)时，
整点(-1，-1)，(0,0)都在曲线C上，其有3个整点，不满足题意；当整点为1,2
(2,6),此时整点(2.1)，（一1，一2），（一2，一1），(0,0)均在曲线C上，且(2.2)，(1,1)均不在曲线C上，其有5
个整点，满足题意，D正确.故选ACD
12
将直线x+2y-1=0化为2x十4y-2=0,所以两直线之间的距离d=一3二（-2)=
/2+4
101
13.6
设直线1与x十y十5=0平行且它们之间的距离为2，则1的方程为x十y十3=0，由
x十y十3=0，
理得(a2十？).x2十6a2x十9a2一a2=0,因为E上的点到直线x十y十5=0的最短距离不小于2，所以△
36c-4+)(8c-0)0.整理得d+-9≤0.由椭圆E的离心率为号
可知1-
=，所以号
=合，所以a+a2-9≤0，则a≤6，所以0<a<6。
如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz,则E(1,1,0),F(1,2,1),设
P(x,0,2),Q(2,2),则E2=(x-1,-1,2),F0=(1y-2,1),因为EP1
FQ,所以EP·F0=x-1-y十2+2=0，即x-y十3=0，所以y=x+3,又
P0=(2-x,x+3,0),则|P0|=√(2-x)+(x+3)=/2x+2x+13,当
x=一2时，取得最小值此时y=号，即P(-号，0,2)，Q(2,号，2)所以
床=01，D,前-（-是-1,2).à-(1，号，2.设平面EQ的-个法
·m=0即
6十20=0，
向量为m=(05%,),则
EQ·m=0,
十多十2o=0,令%-1，解]
15
得=方=-1，所以m=(分，l,-1),则点P到平面EFQ的距离为d=
m·EP
m
3
2
15.解：(1)由题意知C的右焦点为(2,0)，则其左焦点为（一2,0），…2分
所以2a=/4十3十/0十3=8，所以Q=4,…
4分
所以：=16一4=12.所以椭圆C的标准方程为元十造-1，
6分
(2)设所求双曲线E的方程为4x2一9y2=1(入≠0)，
8分
又E过点(1,2画
3
所以4-9×(2匝)=A,解得=一36.
11分
3
所以所求双曲线E的方程为4r一9y=一36，即标准方程为片-专
-工
13分
16.解：(1)由题意得C(1,1),圆C的半径为3.
1分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=k(x十2)，即kx一y十2k=0,…3分
由直线4与圆C相切，得四=3，解得k=一专，
k+1
所以直线41的方程为4x十3y十8=0.
5分
当直线4的斜率不存在时，直线的方程为x=一2，显然与圆C相切.
综上，直线1的方程为x=一2或4x十3y十8=0.7分
3+4-2
所以|EF|=2X√/3-1下=4E.
点P到直线1：的距离的最大值为r十d=3十1=4，
则△PEF的面积的最大值S=号×1EF×(r+d)=合×4E×4=8E.
17.(1)证明：因为PD=1,CD=2,PC=5,所以PD+CD=PC,
所以CD⊥PD,…
又CD⊥AD,且AD∩PD=D,AD,PDC平面PAD,所以CD⊥平面PAD,
又PAC平而PAD,所以PA⊥CD.
(2)解：因为PA=√2，AD=PD=1,所以AD十PD=PA,则PD⊥AD.
由(I)可知PD,AD.DC两两垂直，以D为原点，以DA,DC,DP所在直
线分别为x轴y轴、x轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxy2,
则D(0.0,0),B(1,1,0),P(0,0,1),C(0,2.0),…8分
可知D=(0,0,1),Di=(1,1,0),设P0=入PC=(0,2,-A)(0≤A≤
1)则
D0=DP+PQ=(0,2a,1-A),
…9分
设平面BDQ的一个法向量1=(11,24)，
则离即公令为=1解得-
1=一2λ，
故n1=(入-1,1一入，-2以)，…
设平面BDP的一个法向量为n2=(2,,),
正：m:=0得士=0·令为=-1，解得=1，=0，放m=(1,一1,0
D.2=0,
12=0,
所以co8(n1,n》
12以-2
3/11
√6x-4A+2·2
11
即
a-1
/3-2x+1
3工，整理，得8x+2以-1=0，解得入=子或1=-
11
（舍去）
故瓷
4444444
18解：1)设双曲线
-1
=1的焦距为2c,则c=2,
因为F(2,0)到直线bx一ay=0的距离为-
12b
=2,故6=2，
6+a
则a=P一方=厄，故双曲线的方程为：乞
=1.
(2)①如图，设A(),B(x2,边)，联立直线与双曲线的方
程2
2一1≠0，
△=82+8>0，
-4t
消元得(-1)y2十4y+2=0,则
…7分
2
2
因为直线与双曲线右支交于A,B两点，故为为一二<0，
则一1<t1,故t的取值范围为（一1,1）.
②由①知.lAB=+71n-为=+7/+)-=/+区
2
2
原点O到直线AB的距离d=
/1+
设C)Dc).联立.则-1y++4=0,
41
为十y=号y=与4=16>0.
则|D=中71-l=中F/+)-=已压-4平.
1-
1-2
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